ShuricHimik: Правило креста


На главную
Соображалки | Самоделки | Нелепости | Книжки | Разное

Правило креста

В школьном курсе химии среди расчётных задач встречаются те, которые связаны с приготовлением раствора заданной концентрации смешением двух растворов, концентрации которых известны. Решение подобных задач обычно производится с применением так называемого «правила креста». Оно весьма просто для запоминания, но по причине некоторой неочевидности может восприниматься как некое «шаманство». Разумеется, ничего необычного с правиле креста нет, оно достаточно просто обосновывается математически. Именно это обоснование изложено ниже, причём для понимания его достаточно школьных знаний по алгебре 8 класса.


Задача:

Дано два раствора вещества с массовыми концентрациями wx и wy. В каком соотношении их нужно смешать между собой, чтобы получить раствор с промежуточной концентрацией wz?

Решение:

Введём следующие обозначения. Пусть для получения раствора с концентрацией wz требуется смешать x г раствора с концентрацией wx и y г раствора с концентрацией wy. Таким образом в задаче требуется найти величину x/y (отношение масс смешиваемых растворов). Будем считать, что

wx < wz < wy .

Обозначим массу раствора с концентрацией wz как z г. Очевидно, что

x + y = z .

Масса вещества в x г раствора с концентрацией wx равна:

wx·x

Масса вещества в y г раствора с концентрацией wy составит:

wy·y

Масса вещества в z г раствора с концентрацией wz будет:

wz·z

При смешивании растворов массы растворённых в них веществ складываются, то есть

wx·x + wy·y = wz·z

Таким образом получаем следующую систему линейных алгебраических уравнений:

Для решения этой системы умножим правую и левую части верхнего уравнения на wx, после чего вычтем его из нижнего уравнения. Получим:

Найдём теперь x:

Таким образом, исходная система уравнений имеет следующее решение:

Теперь остаётся найти отношение x/y:

Иными словами, для получения раствора с концентрацией wz нужно смешать растворы с концентрациями wx и wy в следующем соотношении:

Данная пропорция и является математическим выражением правила креста, поскольку оно графически изображается следующим образом:

x:     

wx

 

 

 

wywz

 

 

 

 

 

 

 

wz

 

 

 

 

 

 

y:     

wy

 

 

 

wzwx

Приведённая мнемоническая схема означает, что для приготовления раствора с концентрацией wz нужно смешать (wy – wz) массовых частей раствора с концентрацией wx и (wz – wx) массовых частей раствора с концентрацией wy.


Правило креста справедливо и для случая, когда вместо массовой концентрации w используется молярная c. В этом случае исходная задача переформулируется так: «Дано два раствора вещества с молярными концентрациями cx моль/л и cy моль/л. В каком соотношении их нужно смешать между собой, чтобы получить раствор с промежуточной концентрацией cz моль/л?».

Введя обозначения: x л – объём раствора с концентрацией cx, y л – объём раствора с концентрацией cy и z л – суммарный объём конечного раствора с концентрацией cz (cx < cz < cy), можно с учётом того, что при смешивании растворов количества растворённых в них веществ складываются, записать систему уравнений, с точностью до обозначений совпадающую с рассмотренной выше:

В связи с этим искомое соотношение объёмов растворов x/y будет иметь аналогичный вид:

Как легко догадаться, мнемоническая схема для молярных концентраций будет иметь вид, подобный случаю с массовыми концентрациями.


Добавлено: 06.12.2015


Изменено: 06.12.2015


Скачать в pdf


Наверх

Соображалки | Самоделки | Нелепости | Книжки | Разное
На главную