ShuricHimik: Правило креста

В школьном курсе химии среди расчётных задач встречаются те, которые связаны с приготовлением раствора заданной концентрации смешением двух растворов, концентрации которых известны. Решение подобных задач обычно производится с применением так называемого «правила креста». Оно весьма просто для запоминания, но по причине некоторой неочевидности может восприниматься как некое «шаманство». Разумеется, ничего необычного в правиле креста нет, оно достаточно просто обосновывается математически. Именно это обоснование изложено ниже, причём для понимания его достаточно школьных знаний по алгебре 8 класса.

Задача:

Дано два раствора вещества с массовыми концентрациями (массовыми долями) w_x и w_y. В каком соотношении их нужно смешать между собой, чтобы получить раствор с промежуточной концентрацией w_z?

Решение:

Введём следующие обозначения. Пусть для получения раствора с концентрацией (массовой долей) w_z требуется смешать x г раствора с концентрацией w_x и y г раствора с концентрацией w_y. Таким образом в задаче требуется найти величину x/y (отношение масс смешиваемых растворов). Будем считать, что

Обозначим массу раствора с концентрацией w_z как z г. Очевидно, что

Масса вещества в x г раствора с концентрацией w_x равна:

Масса вещества в y г раствора с концентрацией w_y составит:

Масса вещества в z г раствора с концентрацией w_z будет:

При смешивании растворов массы растворённых в них веществ складываются, то есть

Таким образом получаем следующую систему линейных алгебраических уравнений:

Для решения этой системы умножим правую и левую части верхнего уравнения на w_x, после чего вычтем его из нижнего уравнения. Получим:

Таким образом, исходная система уравнений имеет следующее решение:

Иными словами, для получения раствора с концентрацией w_z нужно смешать растворы с концентрациями w_x и w_y в следующем соотношении:

Данная пропорция и является математическим выражением правила креста, поскольку оно графически изображается следующим образом:

`x`:	`w_x`		`w_y` – `w_z`

		`w_z`

`y`:	`w_y`		`w_z` – `w_x`

Приведённая мнемоническая схема означает, что для приготовления раствора с концентрацией w_z нужно смешать (w_y – w_z) массовых частей раствора с концентрацией w_x и (w_z – w_x) массовых частей раствора с концентрацией w_y.

Правило креста справедливо и для случая, когда вместо массовой концентрации w используется молярная c. В этом случае исходная задача переформулируется так: «Дано два раствора вещества с молярными концентрациями c_x моль/л и c_y моль/л. В каком соотношении их нужно смешать между собой, чтобы получить раствор с промежуточной концентрацией c_z моль/л?».

Введя обозначения: x л – объём раствора с концентрацией c_x, y л – объём раствора с концентрацией c_y и z л – суммарный объём конечного раствора с концентрацией c_z (c_x < c_z < c_y), можно с учётом того, что при смешивании растворов количества растворённых в них веществ складываются, записать систему уравнений, с точностью до обозначений совпадающую с рассмотренной выше:

В связи с этим искомое соотношение объёмов растворов x/y будет иметь аналогичный вид:

Как легко догадаться, мнемоническая схема для молярных концентраций будет иметь вид, подобный случаю с массовыми концентрациями.