На главную
Соображалки | Самоделки | Нелепости | Книжки | Разное

"Теория средних" или Моё математическое графоманство

 

"Вы, профессор, воля ваша, что-то нескладное придумали! Оно, может, и умно, но больно непонятно. Над вами потешаться будут"


"Мастер и Маргарита", Булгаков М. А.


Жизнь у всех разная и проявляется это ещё и в том, что источники информации, с которыми мы имеем дело, тоже у всех различны. Кроме этого, далеко не каждые сведения оставляют нас равнодушными, не вызывая совершенно никаких эмоций или мыслей. При этом иногда сочетание данных из двух источников может побуждать к весьма своеобразным умозаключениям.

Есть у меня одна книга – пособие для учителя информатики [1]. Не помню, как она у меня появилась – может купил, а может мне её кто-то подарил – однако в школе она мне как-то пригодилась в освоении языка Basic, программы на котором мы тогда собственноручно набивали на болгарских машинах "Правец 8A". Именно из этой книги я когда-то впервые узнал, что помимо так называемого среднего арифметического для нескольких чисел бывает, например, ещё и среднее квадратическое.

На первом курсе (1999-2000 гг.) университета, на лекциях по высшей математике, когда мы проходили определённые интегралы, была упомянута так называемая "теорема о среднем" [2, с. 353]. И вот это-то, в комбинации с сидящими в памяти сведениями из упомянутой книги, почему-то отозвалось в мозгах вопросом: "А какое именно среднее имеется в виду в теореме: арифметическое, кубическое или какое-нибудь другое?". Ну а раз возник вопрос – можно попытаться найти и ответ. Поиск сей вскоре привёл меня к тому, что, собственно, и составляет основу материала данной заметки. Свои измышления я условно назвал "теорией средних" и достаточно долгое время они хранились у меня в виде конспекта. Теперь же результаты этой "мозговой гимнастики" я выложил в сеть по следующим соображениям. Во-первых, если на этот материал наткнётся математик, то, думается, это сможет его повеселить. Во-вторых, мне слабо верится, что никто из профессиональных математиков в своих работах не додумался до чего-то подобному тому, что изложено здесь. В связи с этим мне особенно интересно было бы узнать, чьи это результаты мной, вероятно, "переоткрыты" – к сожалению, я не располагаю возможностью и временем это выяснить самостоятельно, но буду очень благодарен за сведения об этом.



I. Типы средних (введение)

Пусть у нас имеется множество из n чисел x1, x2,...xn.

а) Среднее арифметическое этих чисел:

(1)

б) Среднее квадратическое:

(2)

в) Среднее кубическое:

(3)

г) Если ни одно из чисел рассматриваемого множества не равно нулю, то для них можно вычислить среднее гармоническое [1, с. 132]:

(4)

II. Средние значения функции на замкнутом числовом промежутке

Рассмотрим непрерывную функцию y=f(x), определённую на отрезке [a; b]. Разобьём [ab] на n равных частей величиной Δxi=(ba)/n. Теперь внутри каждого отрезка разбиения Δxi произвольно выберем точку Ci () и вычислим значение функции y=f(x) в точке Ci: yi=f(Ci) (Рисунок 1).

Рисунок 1.

Для полученного таким образом множества значений по формулам (1), (2), (3) можно вычислить средние арифметическое, квадратическое и кубическое:

(5)

(6)

(7)

В случае, если f(x) на [a; b] ни в одной точке не обращается в ноль, то по (4) можно вычислить и среднее гармоническое:

(8)

Будем теперь увеличивать неограниченно n и найдём пределы выражений (5), (6), (7) и (8) при n→∞. Если эти пределы существуют для рассматриваемой функции y=f(x) на отрезке [a; b], то назовём их, соответственно, средним арифметическим, средним квадратическим, средним кубическим и средним гармоническим значениями функции y=f(x) на отрезке [ab]. Введём обозначения:

(9)

(10)

(11)

(12)

Для удобства операторы

, , ,

назовём арифией, квадрией, кубинией и гармонией соответственно.

III. Вычисление арифии функции на замкнутом числовом промежутке

Вернёмся к Рисунку 1. Составим для функции f(x) интегральную сумму Римана:

Эта сумма при неограниченном возрастании n имеет предел, равный интегралу:

Величина (ba) – длина отрезка [a; b] – число постоянное, поэтому

(13)

Подставим (9) в (13):

или

(14)

Из (14) как раз и следует ответ на возникший у меня вопрос: в теореме о среднем фигурирует именно среднее арифметическое значение функции на отрезке (придуманная мной "арифия").

IV. Свойства арифии функции на отрезке

Свойство 1 (свойство линейности оператора арифии):

(15)

(C1 и C2 – постоянные числа, f(x) и g(x) – непрерывные и определённые на [a; b] функции).

Доказательство:


Свойство 2. Если C=const, то

(16)

Доказательство:


Свойство 3. Если a < c < b, то

(17)

Доказательство:


Свойство 4. Если f(x) – чётная функция и a > 0, то

(18)

Доказательство:

Так как f(x) – чётная, то

Далее:

,   .

Отсюда:


Свойство 5. Если f(x) – нечётная функция, то

(19)

(20)

Доказательство:

Так как f(x) – нечётная, то

,

отсюда


Свойство 6.

(21)

Доказательство:

Известно, что

Домножим обе части этого неравенства на (ba) (ba > 0):

V. Вычисление квадрии, кубинии и гармонии функции на отрезке

Пусть g1(x)=[f(x)]2, тогда

Итак:

(22)

Пусть теперь g2(x)=[f(x)]3, тогда

или

(23)

Пусть теперь функция y=f(x) на [ab] ни в одной точке не принимает нулевого значения. Обозначим .

Окончательно:

(24)

VI. Свойства квадрии, кубинии и гармонии функции на отрезке

Свойство 7. Если C=const:

(25)

Доказательство:


Свойство 8.

(26)

Доказательство:

Аналогично доказываются следующие соотношения:

(27)

(28)

и (если C ≠ 0)

(29)

(30)


Свойство 9.

(31)

Доказательство:


Свойство 10.

(32)

Доказательство:

Из (22):

VII. Среднее значение функции нескольких переменных

По аналогии со средним значением функции на замкнутом числовом промежутке можно рассмотреть вопрос о среднем значении функции нескольких переменных в некоторой области значений её аргументов. Рассмотрим это на примере непрерывной функции двух независимых переменных z=f(x, y), определённой в некоторой области прямоугольной формы D. Разобьём эту область на k=n·m (n, m – целые числа) одинаковых площадок, внутри каждой из них произвольно выберем точку Ci () и вычислим значение функции zi в каждой из них (Рисунок 2).

Рисунок 2.

Далее, по аналогии с (5) можно вычислить среднее полученных значений функции (например, среднее арифметическое):

(33)

Теперь можно начать неограниченно увеличивать n и m (и, соответственно, k) и найти предел выражения (33) при n → ∞, m → ∞ (k → ∞). Если этот предел существует для рассматриваемой функции, то его можно назвать средним арифметическим значением функции f(x, y) в области D. По аналогии с (9) можно ввести обозначение:

(34)

В соответствии с Рисунком 2 площадь каждого из k участков разбиения области D равна (SD – площадь области D):

Составим для функции f(x, y) интегральную сумму Римана:

Эта сумма при неограниченном возрастании k имеет предел, равный следующему интегралу:

Так как SD – число постоянное, то

Из полученного равенства следует формула для вычисления арифии функции двух переменных в области D:

(35)

Используя похожие рассуждения, можно также ввести определения для квадрии, кубинии и гармонии и получить формулы для их вычисления. Например:

(36)

Для функции трёх переменных t=f(x, y, z) формула для вычисления арифии в области v, имеющей форму прямоугольного параллелепипеда объёмом Vv, выглядит следующим образом:

(37)

При желании можно исследовать и свойства таких "средних". Так, оператор арифии обладает свойством линейности для функций одного, двух и трёх независимых переменных. Кроме этого, нетрудно заметить, что арифия во всех рассматриваемых случаях вычисляется сходным образом. Это позволяет написать условную обобщённую формулу для её вычисления: если мы имеем некоторую функцию F, то её среднее арифметическое значение в некоторой области M будет равно частному соответствующего интеграла функции по этой области и меры области (длины, площади или объёма):

(38)



В той книге по информатике была приведена ещё одна формула для среднего геометрического, определявшегося как корень степени n из произведения n чисел (надо полагать, неотрицательных). В принципе, ничто не мешает (с соответствующими оговорками и ограничениями) придумать "среднее геометрическое значение функции" и способ его вычисления (оно через логарифмирование фактически сводится к вычислению арифии логарифма исходной функции).


Литература:

[1]. Касаткин В.Н. Информация, алгоритмы, ЭВМ: Пособие для учителя. – М.: Просвещение, 1991. – 192 с.: ил.

[2]. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Учеб.: в 2-х т. Т. 1 – СПб.: Мифрил. Гл. ред. Физ.-мат. лит., 1996. – 416 с.



Добавлено: 02.10.2011


Изменено: 02.10.2011


Скачать в pdf


Наверх

Соображалки | Самоделки | Нелепости | Книжки | Разное
На главную


Hosted by uCoz